В теории вероятностей противоположные (дополнительные) события представляют собой пару событий, которые охватывают все возможные исходы эксперимента и не могут наступить одновременно. Рассмотрим их ключевые свойства и значение суммы их вероятностей.
Содержание
Определение противоположных событий
- Событие A и его противоположность Ā (не-A)
- Ā наступает тогда и только тогда, когда не наступает A
- Вместе они образуют полную группу событий
- Они являются несовместными (не могут произойти одновременно)
Формула суммы вероятностей
| Событие | Вероятность |
| P(A) | Вероятность основного события |
| P(Ā) | Вероятность противоположного события |
| P(A) + P(Ā) | Всегда равна 1 (100%) |
Доказательство равенства
- По определению P(A) = m/n, где m - благоприятные исходы, n - все исходы
- P(Ā) = (n-m)/n
- P(A) + P(Ā) = m/n + (n-m)/n = (m+n-m)/n = n/n = 1
Примеры противоположных событий
- Выпадение "орла" и "решки" при подбрасывании монеты
- Попадание и промах при стрельбе
- Выигрыш и проигрыш в лотерее
- Наличие дефекта и его отсутствие в изделии
Практическое применение
Знание этого свойства позволяет:
- Упрощать расчеты вероятностей
- Проверять правильность вычислений
- Определять вероятность сложных событий
- Строить математические модели
Важные следствия
Из равенства P(A) + P(Ā) = 1 следует, что:
1) P(Ā) = 1 - P(A)
2) P(A) = 1 - P(Ā)
Эти формулы часто используются при решении вероятностных задач.
